Tính tổng các ước số của một số nguyên dương n, bài 28

Trong nội dung bài viết trước, ta đã biết cách tính số ước số của một trong những thoải mái và tự nhiên . Bài viết này đã hình thành công thức tính tổng toàn bộ ước số trường đoản cú n...

Bạn đang xem: Tính tổng các ước số của một số nguyên dương n, bài 28


Trong bài viết trước, ta đã biết cách tính số ước số của một trong những thoải mái và tự nhiên. Bài viết này đang ra đời phương pháp tính tổng tất cả ước số thoải mái và tự nhiên của một số trong những nguim dương mang đến trước.
*

Với những số bé dại thì câu hỏi tính tổng những ước hơi đơn giản. Ta đang bắt đầu từ ví dụ sau:

1. lấy một ví dụ msinh sống đầu

ví dụ như 1.
Tính tổng tất cả ước số nguyên ổn dương của số $24$.GiảiCác ước nguyên ổn dương của $24$ là: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.$Tổng của bọn chúng là $sigma(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.$Nhận xét. Để ý rằng $24=2^3.3 $ bắt buộc những ước ngulặng dương của $24$ hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng: $$1, 2^1, 2^2, 2^3, 3, 2.3, 2^2.3, 2^3.3.$$Tổng của chúng là $$sigma(24)=1+2^1+2^2+2^3+3(1+2+2^2+2^3)=(1+2^1+2^2+2^3)(1+3) \ = (2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1). $$

2. Công thức tính tổng các ước số

Định lí.
Nếu số ngulặng dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên ổn tố: $$n=p_1^m_1.p_2^m_2...p_k^m_k$$thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là $$sigma (n)= (p_1^0+p_1^1+...+p_1^m_1)(p_2^0+p_2^1+...+p_2^m_2)(p_k^0+p_k^1+...+p_k^m_k) (*)$$hay$$sigma (n)=prodlimits_i=1^k(fracp_i^m_i+1-1p_i-1) (**)$$Xem chứng minh định lí này.

Xem thêm: Chu Kỳ Sống Của Sản Phẩm Và Chiến Lược Marketing Từng Giai Đoạn Phát Triển

3. ví dụ như áp dụng

lấy ví dụ 2.
Tính tổng các ước ngulặng dương của $200$.GiảiTa có: $200=2^3.5^2$.+ Áp dụng phương pháp (*), tổng các ước ngulặng dương của $200$ là:$sigma(200)=(2^0+2^1+2^2+2^3)(5^0+5^1+5^2)=465.$+ Còn giả dụ vận dụng phương pháp (**) thì$sigma(200)=frac2^4-12-1.frac5^3-15-1=465.$lấy một ví dụ 3. Tính tổng các ước ngulặng dương của số $12345678$.Giải.Ta có: $12345678=2.3^2.47.14593$.Tổng các ước số tự nhiên của $12345678$ là:$sigma(12345678)=(1+2)(1+3+3^2)(1+47)(1+14593)=27319968.$ lấy một ví dụ 4. Tính tổng các ước ngulặng dương của $n=1520540658$.GiảiTa có: $n=1520540658=2.3^2.7^2.13^2.101^2$.+ Áp dụng cách làm (*), tổng các ước nguyên ổn dương của $1520540658$ là:$sigma(n)=(2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2)(7^0+7^1+7^2)(13^0+13^1+13^2)(101^0+101^1+101^2) \ =4191353127.$+ Còn ví như vận dụng cách làm (**) thì$sigma(n)=frac2^2-12-1.frac3^3-13-1.frac13^3-113-1.frac101^3-1101-1=4191353127.$